关于 Kang 和 Park 一个猜想的若干推广

令 $\Delta_d^{(a,-)}(n) = q_d^{(a)}(n) - Q_d^{(a,-)}(n)$，其中 $q_d^{(a)}(n)$ 计数将 $n$ 分拆为差至少为 $d$ 且部分大小至少为 $a$ 的分拆数，$Q_d^{(a,-)}(n)$ 计数将 $n$ 分拆为部分 $\equiv \pm a \pmod{d + 3}$ 且排除 $d+3-a$ 部分的分拆数。受 Kang 和 Park 猜想推广的启发，Duncan、Khunger、Swisher 及第二作者猜想对所有 $d\geq 1$ 和 $n\geq 1$ 有 $\Delta_d^{(3,-)}(n)\geq 0$，并能在 $d \geq 31$ 且被 $3$ 整除时证明之。他们还猜想对更高的 $a$ 有类比：修正差函数 $\Delta_{d}^{(a,-,-)}(n) = q_{d}^{(a)}(n) - Q_{d}^{(a,-,-)}(n) \geq 0$，其中 $Q_{d}^{(a,-,-)}(n)$ 计数将 $n$ 分拆为部分 $\equiv \pm a \pmod{d + 3}$ 且排除 $a$ 与 $d+3-a$ 部分的分拆数，并对无穷多类 $n$ 和 $d$ 证明了之。我们证明了对除有限多个 $d$ 外的所有 $d$ 有 $\Delta_{d}^{(3,-)}(n) \geq 0$。我们还对固定的 $a$ 给出了除有限多个 $d$ 外广义猜想的证明，并加强了 Duncan、Khunger、Swisher 及第二作者的结果。我们给出了广义猜想关于 $d$ 的线性下界的条件证明，该证明基于近期被证明的 Alder 猜想的一个猜想性修正，改进了我们的无条件结果。利用此修正，我们得到了 Kang 和 Park 猜想这一推广的加强版，其显著之处在于允许 $a$ 作为一个部分。此外，我们提供了该加强猜想成立的非线性证据。