关于梯度对称部分相等的函数及Reshetnyak紧性定理的推广

我们考虑以下问题：给定连通开域$\Omega\subset R^n$，假设$u,v:\Omega\rightarrow R^n$且$\det(\nabla u)>0$，$\det(\nabla v)>0$几乎处处成立，若$\nabla u^T(x)\nabla u(x)=\nabla v(x)^T \nabla v(x)$几乎处处成立，这是否意味着在$\Omega$中几乎处处存在形如$\nabla v(x)= R\nabla u(x)$的全局关系，其中$R\in SO(n)$？若$u,v$是$C^1$的，则证明其为真只是一个练习；若$u,v\in W^{1,1}$，我们证明这是错误的。我们证明了，若$v\in W^{1,1}$且$u\in W^{1,n}$是对于$p>n-1$具有$L^p$可积伸缩的映射，则该问题有肯定答案。这些条件在二维情况下是尖锐的，且该结果代表了刘维尔定理推论的推广，该推论指出微分包含$\nabla u\in SO(n)$只能由仿射映射满足。关于旋转的刘维尔推论已被Reshetnyak推广，他证明了对于任何弱收敛序列$v_k\in W^{1,1}$，若$$\int_{\Omega} \mathrm{dist}(\nabla v_k,SO(n)) dz\rightarrow 0 \text{as} k\rightarrow \infty,$$则其梯度收敛到一个固定的旋转。设$S(\cdot)$表示矩阵的（乘法）对称部分。在定理3中，我们针对任意满足$\int_{\Omega} \left|S(\nabla u_k)-S(\nabla v_k)\right|^p dz\rightarrow 0$（当$k\rightarrow \infty$时）且$\det(\nabla v_k)$的符号在$L^1$中趋于1的弱收敛序列对$v_k\in W^{1,p}$和$u_k\in W^{1,\frac{p(n-1)}{p-1}}$（其中$p\in \left[1,n\right]$且序列$(u_k)$的伸缩逐点被一个$L^r$可积函数$r>n-1$控制），证明了类似的结论。该结果将Reshetnyak定理作为$(u_k)\equiv Id$, p=1的特殊情况包含在内。