关于非确定性复杂性及相关类的不可判定命题

$\NP$ 的定义要求对于每个成员语言 $L$，存在一个多项式时间检查关系 $R$ 和一个常数 $k$，使得 $w \in L \iff \exists y\,(|y| \leq |w|^k \wedge R(w,y))$。我们展示了这一双向等价在每个成员语言中实例化为 Hilbert 的三元组：一个 sound、complete、可判定的证明系统，其中关于 $L$ 中的真理与有界可证性恰好相同。我们进一步指出，$R$ 上的多项式时间限制不排除 Gödel 的证明检查关系，该关系本身是多项式时间的，并可作为字面实例符合该定义。因此，$\NP$ 作为所有多项式时间 $R$ 的整体包含了那些双向等价断言属性的语言，而这正是 Gödel 的第一不完备定理所禁止的。$\NP$ 的语义定义是不可满足的，原因正是 Hilbert 计划的原因。