关于抽象计算模型中 NP 的等价表征

我们研究了类似图灵机的机器模型，这些模型被增强了一阶结构 $\mathcal{R}$ 的运算，我们展示了在 $\mathcal{R}$ 上实施弱条件下，复杂度类 $\text{NP}(\mathcal{R})$ 可以三种等价方式进行表征: (1) 在 $\mathcal{R}$-机器上实现的多项式时间验证算法; (2) $\text{NP}(\mathcal{R})$-完备问题 $\text{SAT}(\mathcal{R})$; (3) 通过描述复杂性理论中的存在第二阶元有限逻辑。通过以这三种方式表征 $\text{NP}(\mathcal{R})$，我们扩展了之前的工作，并将其嵌入一个连贯的框架中。必须在 $\mathcal{R}$ 上做出一些假设才能实现上述三位一体，因为存在无限词汇结构使得 $\text{NP}(\mathcal{R})$ 没有完备问题。令人惊讶的是，即使在这些情况下，我们也展示了 $\text{NP}(\mathcal{R})$ 可以存在第二阶元有限逻辑表征，这表明描述复杂性理论适用于处理无限词汇结构（如实向量空间）。此外，我们推导了类似的结果适用于 $\exists\mathcal{R}$，即 $\text{NP}(\mathcal{R})$ 的不含常数的布尔部分，通过表明 $\exists\mathcal{R}$ 可以三种类似方式进行表征。我们然后将我们的结果扩展到整个多项式层次 $\mathcal{R}$ 以及其不含常数的布尔对手，即 $\mathcal{R}$ 上的布尔层次。最后，我们给出 $\mathcal{R}$-机器上的 oracle $\mathcal{R}$ 的多项式和布尔层次的表征。