复杂性考量与 cSAT 下界

本文讨论了布尔代数作为 Gödel 意义下的一阶理论的完备性。如果理论是完备的，那么任何可能的变换都等价于使用该理论定义的公理、谓词等进行的某种变换。如果要证明（或证伪）一个公式，则必须将其归约为公理。如果每个变换都是可推导的，那么最优变换也是可推导的。如果每个变换都是指数级的，那么最优变换也是指数级的，这使得可以将所讨论问题的下界定为指数级（在 P 类之外）。随后，我们展示了一种在 O(n^c) 时间内解决同一问题的 NDTM 算法（因此该问题属于 NP 类），从而证明了 P \neq NP。文章还证明了 Baker-Gill-Solovay 展示的 P=NP 问题相对化结果和预言机区分了确定性和非确定性计算模型。如果存在一个预言机 A 使得 P^A=NP^A，那么 A 由无限数量的算法、DTM、公理和谓词组成，或者像 NDTM 一样具有无限数量的同时状态。