关于SL_2(R)的有限生成与初等生成

受A. Rapinchuk关于一般约化群的问题的启发，我们研究以下问题：给定一个有限生成的整环$R$及其分式域$F$，是否存在一个包含$SL_2(R)$的$SL_2(F)$的\emph{有限生成子群}$\Gamma$？在本文中，我们将证明，对于任何形如$R = R_0[s,t]$的多项式环，其中$R_0$是一个具有无穷多个（非相伴）素元的有限生成整环，该问题的答案是否定的。证明应用了Bass-Serre理论，并归结为分析$SL_2(R)$中哪些元素可以由元素取自$F$的给定有限生成$R$子代数的初等矩阵生成。利用Bass-Serre理论，我们还可以展示出一些不具有P.M. Cohn引入的$GE_2$性质的新环类。