关于纯斜率 $L$-函数族

设 $R$ 为 $\mathbb{Q}_p$ 的有限扩张 $K$ 中的整数环，$k$ 为其剩余域，$\chi:\pi_1(X)\to R^{\times}=GL_{1}(R)$ 为光滑仿射 $k$-概形 $X$ 的算术基本群的一个“几何”秩一表示。我们证明了局部 $K$-解析特征标 $\kappa:R^{\times}\to\mathbb{C}_p^{\times}$ 是 $K$-刚性空间 ${\cal W}$ 的 $\mathbb{C}_p$-值点，并且 $$L(\kappa\circ\chi,T)=\prod_{\overline{x}\in X}\frac{1}{1-(\kappa \circ\chi)(Frob_{\overline{x}})T^{\deg(\overline{x}})},$$ 视为 $T$ 和 $\kappa$ 的二元函数，在 $\mathbb{A}_{\mathbb{C}_p}^1\times{\cal W}$ 上是亚纯的。在此过程中，基于 Wan 的构造，我们在核 $\sigma$-模的 Grothendieck 群中证明了普通超收敛（有限秩）$\sigma$-模的斜率分解。