关于 $\mathbb{C}^n$ 中某类乘积型非线性 PDE 完全解

本文主要致力于描述非线性偏微分方程 $$u_{z_1}u_{z_2}\cdots u_{z_n}=e^g,$$ 的完全解，其中以 eikonal 方程为原型，$g$ 为 $\mathbb{C}^n$ 中的多项式。通过一种新方法，我们突破了有限阶条件的限制，给出上述方程完全解的显式表达式。作为应用，本文完全解决了 Xu-Liu-Xuan 在 \cite{Xu} 中的两个问题。