关于 Edwards 的猜想与求 $Z$-函数零点的一种新变分方法

在其奠基性著作中，Edwards 基于 Riemann-Siegel 公式的性质，引入了一个关于黎曼猜想可能理论起源的独特“猜想”。本质上，Edwards 询问是否可以找到一种方法，从 $Z_0(t)=cos(\theta(t))$ 的零点（其中 $\theta(t)$ 是 Riemann-Siegel theta 函数）过渡到 $Z(t)$（即 Hardy $Z$-函数）的零点。然而，当直接应用于经典的 Riemann-Siegel 公式时，它在为黎曼猜想形成可靠的似真性论证方面面临重大障碍。在最近的一项工作中，我们引入了一种利用级数求和加速技术的 Riemann-Siegel 公式的替代方案。在本文中，我们通过我们的加速方法的视角来探索 Edwards 的猜想，该方法避免了经典情形中遇到的许多挑战。我们的方法引出了一种新颖的变分框架，用于通过高维参数空间 $\mathcal{Z}_N$ 中的路径将 $Z_0(t)$ 的零点与 $Z(t)$ 的零点联系起来，从而将黎曼猜想重新表述为一个现代非线性优化问题。