关于差图与偏序集的局部维数

由 Dushnik 和 Miller (1941) 引入的偏序集维数在文献中已被广泛研究。最近，Ueckerdt (2016) 提出了一种利用部分线性扩展的变体，称为局部维数。虽然局部维数以维数为上界，但它们可以相差任意大，例如标准示例的维数为 $n$，而其局部维数仅为 $3$。Hiraguchi (1955) 证明了阶数为 $n$ 的偏序集的最大维数为 $n/2$。然而，对于局部维数，我们得到了一个非常不同的结果，证明了一个 $\Theta(n/\log n)$ 的界。这源于其与使用差图覆盖图的联系，差图是一类二分图，其单个顶点类中的顶点具有嵌套邻域。我们还证明了 $n$ 维布尔格的局部维数为 $\Omega(n/\log n)$，并在解决局部维数的可移除对猜想方面取得了进展。