关于与 $Q$-集相关的临界基数

本文收集了一些已知信息并证明了关于小不可数基数 $\mathfrak q_0$ 的新结果。基数 $\mathfrak q_0$ 定义为不是 $Q$-集的子集 $A\subset \mathbb R$ 的最小基数 $|A|$（如果子空间 $A\subset\mathbb R$ 的每个子集 $B\subset A$ 在 $A$ 中都是 $F_\sigma$ 型，则称 $A$ 为 $Q$-集）。我们给出了一个关于 $\mathfrak p\le\mathfrak q_0\le\min\{\mathfrak b,\mathrm{non}(\mathcal N),\log(\mathfrak c^+)\}$ 这一公认事实的简单证明，并确立了基数 $\mathfrak q_0$ 与其他标准小不可数基数之间存在一系列严格不等式的一致性。这是通过结合一些已知的力迫结果完成的。本文的一个新结果是 $\mathfrak{p} < \mathfrak{lr} < \mathfrak{q}_0$ 的一致性，其中 $\mathfrak{lr}$ 表示线性精炼数。另一个新结果是对于 $\mathbb R$ 上任意 $\mathfrak q_0$-灵活 cccc $\sigma$-理想 $\mathcal I$，成立上界 $\mathfrak q_0\le\mathrm{non}(\mathcal I)$。