关于复振荡理论、拟精确可解性与 Fredholm 积分方程

双汇合 Heun 方程 (BHE) 是一般 Heun 方程的一个汇合情形，它在 Riemann 球面 $\hat{\mathbb{C}}$ 上比 Gauss 超几何方程多一个正则奇点。受 Nevanlinna 理论（复振荡理论）方法的启发，我们建立了一套 \textit{周期性} BHE (PBHE) 的理论，与 Lamé 方程对应于 Heun 方程、Mathieu 方程对应于汇合 Heun 方程相类似。我们建立了导致 PBHE 本征解的显式构造的条件，以及它们的单重和双重正交性，以及一个相应的本征解必须满足的一阶 Fredholm 型积分方程。我们还建立了 BHE 层面上的 Bessel 多项式类比，这是基于观察到 Bessel 方程和 BHE 在 Riemann 球面 $\hat{\mathbb{C}}$ 上原点处有一个正则奇点且无穷远处有一个非正则奇点，且前一方程具有关于复权正交的多项式解。最后，我们将我们的结果与 Turbiner、Bender 和 Dunne 等人考虑的一个方程联系起来，该方程涉及由一阶算子生成的拟精确可解 Schrödinger 方程，使得二阶算子在 $SL_2(\mathbb{C})$ 的 Lie 代数中具有一个有限维不变子空间。