关于$\mathbb{P}^n$中一般位置点的完全可分解定义方程

对线性一般位置有限集 $\Gamma \subset \mathbb{P}^n$ 的定义方程的研究一直备受关注，因为它在理解算术 Cohen-Macaulay 簇的定义方程中起着重要作用。在 \cite{T} 中，R. Treger 证明了 $I(\Gamma)$ 由次数 $\leq \lceil \frac{|\Gamma|}{n}\rceil$ 的形式生成。此后，Treger 的结果在多篇论文中得到推广和改进。本文旨在从新视角重新证明并改进上述 Treger 的结果。我们在本文中的主要结果表明，$I(\Gamma)$ 由 $I(\Gamma)_{\leq \lceil \frac{|\Gamma|}{n}\rceil -1}$ 与 $I(\Gamma)$ 中所有次数为 $\lceil \frac{|\Gamma|}{n}\rceil$ 的完全可分解形式的集合的并生成。特别地，若 $d \leq 2n$，则 $I(\Gamma)$ 由秩为 $2$ 的二次方程生成。这重新证明了 \cite{SD1} 和 \cite{SD2} 中 Saint-Donat 的结果。