群子空间中的闭合运算及其应用

我们建立了均匀重复子群 (URS) 与由正规子群族 $\mathcal{N}$ 所决定的余弦拓扑 $\tau_\mathcal{N}$ 之间的一些相互作用。我们指出，当 $\mathcal{N}$ 由有限指数子群组成时，存在一种自然的闭合运算 $\mathcal{H} \mapsto \mathrm{cl}_\mathcal{N}(\mathcal{H})$，将 URS $\mathcal{H}$ 关联到另一个 URS $\mathrm{cl}_\mathcal{N}(\mathcal{H})$，称为 $\mathcal{H}$ 的 $\tau_\mathcal{N}$-闭合。我们给出 URS $\mathcal{H}$ 为 $\tau_\mathcal{N}$-闭合的判据，以稳定 URS 的条件进行论述。当 $G$ 属于每个忠实最小紧致作用在拓扑自由的群类时，这对任意 URS 也有意义。我们还考虑最大可调 URS $\mathcal{A}_G$，并证明对于某些余弦拓扑，几乎所有 $\mathcal{A}_G$ 中的子群 $H$ 具有相同的闭合性。对于可由法则检测可调性的群，我们推导出 $\mathcal{A}_G$ 为单元素集的判据，基于 $G$ 的残余性质。