关于环中某些元素的 Cline 公式

文献 \cite{C, LCC} 证明了若环中的元素 $ab$ 是（广义）Drazin 可逆的，则 $ba$ 亦然。本文以一种有效的方式给出了该结论的一个新颖且简短的证明。特别地，我们证明了若 $ab$ 是强清洁的，则 $ba$ 也是强清洁的。由此可知，若 $1-ab$ 是强清洁的，则 $1-ba$ 亦是强清洁的。此外，我们还获得了角环中某些元素的若干刻画。结果表明，对于环中的幂等元 $e$ 和任意元素 $a$，$ea+1-e$ 是 Drazin 可逆的当且仅当 $eae$ 是 Drazin 可逆的。