关于某些全局共形不变式与初始数据集的 3-流形扭拓器

本文研究了由初始数据 $h_{\mu\nu}$、$\chi_{\mu\nu}$ 在 3 流形 $\Sigma$ 上的各种联结构建的 Chern-Simons 泛函。首先证明对于渐近平坦数据集，$h_{\mu\nu}$ 与 $r\chi_{\mu\nu}$ 的对数衰减是这些泛函存在的必要且充分条件。由 SL(2,C) 的不可约表示标记为 (k,l) 的向量丛中构建的函数 $Y_{k,l}$ 被证明由 Ashtekar-Chern-Simons 泛函及其共轭函数决定。$Y_{k,l}$ 在 l=k（即张量）表示中恰好是共形不变的。意想不到的是，与扭拓理论建立了联系：$Y_{k,k}$ 可写作由 3-流形扭拓联结构建的 Chern-Simons 泛函，3-流形扭拓曲率的不可为零旋子部分由 $Y_{k,k}$ 对 $h_{\mu\nu}$ 与 $\chi_{\mu\nu}$ 的变分导数给出。$Y_{k,k}$ 的时间导数 $\dot Y_{k,k}$ 是初始数据集的另一种共形不变式，当 $\dot Y_{k,k}$ 为零时（特别是所有 Petrov III 和 N 时空），Chern-Simons 泛函是整个时空的共形不变式。