关于 $C^r$ 一般扭转映射的 $T^2$

我们考察torus上的扭转微分同胚映射 $f:{\rm T^2\rightarrow T^2}$ 及其垂直旋转区间 $\rho _V(\widehat{f})=[\rho _V^{-},\rho _V^{+}]$，其中 $\widehat{f}$ 为将 $f$ 提升至垂直圆柱或圆柱轴上的映射。我们证明对于任意 $r\geq 1$，在 $C^r$ 一般情况下，旋转区间的两个端点都是有理数且在 $C^0$ 扰动下保持局部常数。此外，当 $f$ 为保面积映射时，$C^r$ 一般情况下 $\rho _V^{-}<\rho _V^{+}$。对于任意扭转映射 $f$，若 $\widehat{f}$ 为将 $f$ 提升至圆柱轴上的映射且 $\rho _V^{-}<\rho _V^{+}=p/q$，则有两种可能性：要么 $\widehat{f}^q(\bullet)-(0,p)$ 将一个简单必然环映射到其补集中位于环下方的连通分支中，要么满足曲线相交性质。在前一种情况下，$\rho _V^{+} \leq p/q$ 在 $f$ 的 $C^0$ 邻域中成立；在后一种情况下，我们证明 $\rho _V^{+}(\widehat{f}+(0,t))>p/q$ 对所有 $t>0$ 都成立（即旋转区间正准备增长）。最后，在 $C^r$ 一般情况下，假设 $\rho _V^{-}<\rho _V^{+}=p/q$，我们给出存在 $\widehat{f}^q(\bullet)-(0,p)$ 的自由环对于描述和形状环中存在的吸引子-驱赶器配对的影响。也研究了 $C^r$ 一般可传递扭转微分同胚（如果存在的话）的情形。