环面微分同胚的 Mather 不稳定区域

设 $f$ 为闭环面 $A$ 的 $C^{1+\varepsilon}$ 微分同胚，保持定向与边界分支，$\widetilde{f}$ 为 $f$ 到其万有覆盖空间的一个提升。假设 $A$ 是 $f$ 的 Birkhoff 不稳定区域，且 $\widetilde{f}$ 的旋转集为非退化区间。则存在一个开的 $f$-不变环面 $A^*$，其边界与 $A$ 的两个边界分支均相交，以及 $A^*$ 中的点 $z^+$ 和 $z^-$，使得 $z^+$ 的正（相应负）轨道收敛到包含于 $A^*$ 上（相应下）边界分支中的集合，而 $z^-$ 的正（相应负）轨道收敛到包含于 $A^*$ 下（相应上）边界分支中的集合。这推广了 Mather 最初针对保面积扭转微分同胚所证明的著名结果。