关于亏格二曲线上的等差数列

我们研究了亏格二曲线上有理点的 $x$ 坐标中的等差数列。众所周知，亏格二曲线 $C$ 有两种模型：$C: y^2=f_{5}(x)$ 或 $C: y^2=f_{6}(x)$，其中 $f_{5}, f_{6}\in\Q[x]$，$\operatorname{deg}f_{5}=5, \operatorname{deg}f_{6}=6$，且多项式 $f_{5}, f_{6}$ 无重根。首先，我们证明了存在无穷多个形如 $y^2=f(x)$ 的曲线族，其中 $f\in\Q[x]$ 且 $\operatorname{deg}f=5$，每条曲线均包含 11 个成等差数列的点。我们还给出了一个 $F\in\Q[x]$ 且 $\operatorname{deg}F=5$ 的示例，使得曲线 $y^2=F(x)$ 上有十二个点成等差数列。其次，我们证明了存在无穷多个形如 $y^2=g(x)$ 的曲线，其中 $g\in\Q[x]$ 且 $\operatorname{deg}g=6$，每条曲线均包含 16 个成等差数列的点。此外，我们给出了两个此类形式的曲线示例，其上各有 18 个点成等差数列。