与曲面自同构相关的二次型及其在奇点理论中的应用

我们研究带边界实定向曲面 $\Sigma$ 的伪周期自同构 $h$ 的幂零部分 $N'$。我们关联一个定义在曲面 $\Sigma$ 的第一同调群(相对于边界)上的二次型 $Q$。利用扭转公式与映射类群理论的技术,我们证明在消去 ${\ker N}$ 后所得的型 $\tilde{Q}$ 是正定的,只要与某些环面轨道相关的所有螺旋数均为正。我们还证明当自同构作用下的 Nielsen-Thurston 图的商为一棵树时,$\tilde Q$ 到 $\Sigma$ 的绝对同调群的限制总是偶的。详细讨论了正规曲面奇点上的曲线芽的 Milnor 纤维 $\Sigma=F$ 的单调自同构情形,并将上述结果专门化到此种情形。此外,型 $\tilde{Q}$ 可依据对偶消解图或半稳定约化图计算,并以若干例子说明。与 $\tilde{Q}$ 相关的数值不变量能够区分具有不同拓扑型但有相同谱对的平面曲线奇点。最后,我们讨论定义在超孤立曲面上的泛型线性芽。此时 plumbing 图不是树,且 $\tilde Q$ 到 $\Sigma=F$ 的绝对单调性的限制不是偶的。