关于一类二阶偏微分方程的梯度项及其在无穷拉普拉斯方程中的应用

我们为一类形如 \begin{equation}\nonumber M(x,Du,D^2u)+g(u)N(x,Du, D^2u)+f(x,u)=0 \;\;\mbox{in}\;\; \Omega \end{equation} 的二阶偏微分方程提出了一个自然梯度项，其中 $\Omega\subset\mathbb{R}^n$ 是一个开集，$f\in C(\Omega\times \mathbb{R}, \mathbb{R})$，$M$ 定义了偏微分算子，$N$ 是由梯度 $Du$ 和 $M$ 本身驱动的二次项，且 $g\in C(\mathbb{R},\mathbb{R})$。我们建立了算子 $M$ 类上存在变量替换 $v = \Phi(u)$ 的条件，该替换将前述方程转化为另一个形如 \begin{equation}\nonumber M(x,Dv, D^2v) + h(x,v)=0 \quad \text{in} \;\; \Omega \end{equation} 且不依赖于二次项 $N$ 的方程。本文提出的结果统一了先前关于拉普拉斯算子、$m$-拉普拉斯算子和 $k$-Hessian 算子的发现，这些发现由不同作者分别推导，且局限于具有固定符号的 $C^2$ 解。我们的工作提供了一个更通用的框架，将这些发现推广到更广泛的非线性偏微分方程类，包括无穷拉普拉斯算子。此外，我们还涵盖了可能变号的 $C^2$ 解和粘性解。作为应用，我们还获得了一个 Aronsson 型结果，并研究了带有其自然梯度项的无穷拉普拉斯方程 Dirichlet 问题的粘性解。