关于水平集测度的一般Kac-Rice公式

设$X(\cdot)$为随机场$\mathbb{R}^D \to \mathbb{R}^d$，$D\geq d$。我们首先研究水平集$X^{-1}( u)$，$u \in \mathbb{R}^d$。特别地，我们给出了该水平集可求长的一个弱条件。随后，我们建立了一个Kac-Rice公式以计算$D-d$维Hausdorff测度。我们的结果推广了已知结论，尤其是在非高斯情形下我们得到了一个非常一般的结果。我们以若干推广与应用例子作结，包括高斯随机场的函数、似然函数的零点、引力微透镜、散粒噪声。