关于 Gallai 型问题及尖球与帽形体的照光问题

我们证明，$\mathbb{E}^n$ 中任意有限族两两相交的球可以用 $(\sqrt{3/2}+o(1))^n$ 个点刺穿，改进了此前已知的 $(2+o(1))^n$ 估计。作为推论，这意味着 $\mathbb{E}^n$ 中任意二维可照光的尖球可以用 $(\sqrt{3/2}+o(1))^n$ 个方向来照光。对于凸尖球（即帽形体）的照光数，我们给出了关于某些相关球面码和覆盖大小的上界。对于大维度，这给出了 $1.19851^n$ 的上界，可以与此前仅对中心对称帽形体建立的 $(\sqrt{2}+o(1))^n$ 进行比较。我们还证明了上述三个问题的 $(\tfrac{2}{\sqrt{3}}-o(1))^n$ 下界。