关于与虚拟置换相关联的算子流

Kerov、Olshanski 和 Vershik 引入了所谓的虚拟置换，定义为置换族 $(\sigma_N)_{N \geq 1}$，其中 $\sigma_N$ 属于 $N$ 阶对称群，使得 $\sigma_N$ 的循环结构可以通过简单地移除元素 $N+1$ 从 $\sigma_{N+1}$ 的结构中推导出来。Tsilevich 详细研究了虚拟置换，特别是相应空间上共轭不变的概率测度。在本文中，我们证明对于此类不变测度的一大类（特别包含任意参数 $\theta \geq 0$ 的 Ewens 测度），可以关联一个在合适函数空间上的随机算子流 $(T^{\alpha})_{\alpha \in \mathbb{R}}$。此外，如果 $(\sigma_N)_{N \geq 1}$ 是服从上述类别中分布的随机虚拟置换，则算子 $T^{\alpha}$ 可以解释为置换 $\sigma_N^{\alpha_N}$ 在某种需要精确化意义下的极限，其中 $N$ 趋于无穷大且 $\alpha_N$ 等价于 $\alpha N$。与这一解释相关，我们证明了 $(T^{\alpha})_{\alpha \in \mathbb{R}}$ 的无穷小生成元的特征值等于与 $\sigma_N$ 相关联的置换矩阵经缩放的特征角的极限。