随机覆盖曲面的渐近统计

令 $\Gamma_{g}$ 为亏格 $g\geq2$ 的闭连通可定向曲面的基本群。我们发展了一种在表示空间 $\mathbb{X}_{g,n}=\mathrm{Hom}(\Gamma_{g},S_{n})$ 上积分的新方法，其中 $S_{n}$ 是 $\{1,\ldots,n\}$ 的置换对称群。等价地，这是所有顶点标记、$n$ 叶覆盖该亏格 $g$ 闭曲面的空间。给定 $\phi\in\mathbb{X}_{g,n}$ 与 $\gamma\in\Gamma_{g}$，令 $\mathsf{fix}_{\gamma}(\phi)$ 为置换 $\phi(\gamma)$ 的不动点个数。函数 $\mathsf{fix}_{\gamma}$ 是 $\mathbb{X}_{g,n}$ 上一类称为威尔逊环的自然函数族的特例。我们的新方法给出了当 $n\to\infty$ 时，$\mathsf{fix}_{\gamma}$ 关于 $\mathbb{X}_{g,n}$ 上一致概率测度的期望（记为 $\mathbb{E}_{g,n}[\mathsf{fix}_{\gamma}]$）的渐近公式。我们证明若 $\gamma\in\Gamma_{g}$ 不是单位元，且 $q$ 为使得 $\gamma$ 在 $\Gamma_{g}$ 中是 $q$ 次幂的最大整数，则当 $n\to\infty$ 时 $$\mathbb{E}_{g,n}[\mathsf{fix}_{\gamma}]=d(q)+O(n^{-1})$$，其中 $d\left(q\right)$ 为 $q$ 的因子个数。即便是较弱的推论 $\mathbb{E}_{g,n}[\mathsf{fix}_{\gamma}]=o(n)$（当 $n\to\infty$）也是本文的新结果。我们还证明若 $\gamma$ 不是单位元，则 $\mathbb{E}_{g,n}[\mathsf{fix}_{\gamma}]$ 可被 $n^{-1}$ 的多项式任意阶 $O(n^{-M})$ 逼近。