关于奇异势的族：热力学特征的参数依赖性

我们考察了势函数族 $\psi_c = 2 \log(|\sin(\pi(x-c))|)$，其中 $c\in \mathbb{T}$ 作用于倍增映射上，并检讨了多个热力学和多重熵特征相对于奇异点位置 $c$ 的依赖性。这包括压力函数 $\mathcal P(t \psi_c)$、势函数 $\psi_c$ 的 Birkhoff 谱以及其相关平衡测度 $\mu_c$ 的 $L^q$ 谱。对于每一个 $c \in \mathbb{T}$，都已知 $\mu_c$ 是广义 Thue--Morse 序列的衍射测度，其中经典 Thue--Morse 测度对应 $c = 0$。若 $t\geqslant 0$，我们证明 $c \mapsto \mathcal{P}(t\psi_c)$ 在 $c$ 上是连续的。若 $t<0$，我们证明函数 $c \mapsto \mathcal{P}(t\psi_c)$ 是下半连续但不可连续的。在这种情况下，我们证明连续点恰好是那些满足 $\mathcal{P}(t\psi_c) = \infty$ 的 $c$ 值，这些 $c$ 在 $\mathbb{T}$ 中形成一个零 Hausdorff 维数的剩余集。我们对 $L^q$ 谱和 Birkhoff 谱的参数（半）连续性也得出了类似的结论。