关于 $GC$ 集一个性质的修正

平面中一个 $n$ poised 节点集 $\mathcal X$ 称为 $GC_n$ 集，如果其中每个节点的（二元）基本多项式是 n 个线性因子的乘积。若一条直线恰好经过 $\mathcal X$ 的 k 个节点，则称为 $k$-节点线。$(n+1)$-节点线称为极大线。M. Gasca 和 J. I. Maeztu 的著名猜想断言每个 $GC_n$ 集都有一条极大线。迄今为止该猜想仅在 $n \le 5$ 的情形被证明。我们说一个节点使用一条直线，如果该直线是该节点基本多项式中的一个因子。一个简单且熟知的事实是：任意极大线 $M$ 都被 $\mathcal X\setminus M$ 中的所有 $\binom{n+1}{2}$ 个节点使用。此处我们考虑论文 V. Bayramyan, H. Hakopian, On a new property of n-poised and $GC_n$ sets, Adv Comput Math, 43, (2017) 607-626 的主要结果，即陈述为：在 Gasca-Maeztu 猜想成立的条件下，$GC_n$ 集的任意 $n$-节点线恰被 $\binom{n}{2}$ 个节点或恰被 $\binom{n-1}{2}$ 个节点使用。本文中我们证明该结果在 $n=3$ 时不正确。即，我们给出一个 $GC_3$ 集及其中一条完全不被使用的 $3$-节点线的例子。幸运的是，随后我们得以确定这是唯一的反例，即上述结果对所有 $n\ge 1, n\neq 3$ 成立。我们还刻画了特殊的 $n=3$ 情形，并给出了关于 $GC_n$ 集中极大线及 $n$-节点线使用情况的若干新结果。