关于无平方Veronese理想Stanley深度的一个猜想

在本文中，我们部分证实了由Cimpoeaş、Keller、Shen、Streib和Young提出的关于无平方Veronese理想 $I_{n,d}$ 的Stanley深度的猜想。该猜想表明，对于正整数 $1 \le d \le n$，有 $\sdepth (I_{n,d})= \lfloor \binom{n}{d+1}/\binom{n}{d} \rfloor+d$。Herzog、Vladoiu和Zheng建立了单项式理想商环的Stanley深度与相关偏序集区间划分之间的联系。基于此联系，Keller、Shen、Streib和Young最近发展了一种有用的组合工具来分析无平方Veronese理想相关偏序集的区间划分。我们改进了他们的想法，并证明如果 $1 \le d \le n \le (d+1) \lfloor \frac{1+\sqrt{5+4d}}{2}\rfloor+2d$，则 $\sdepth (I_{n,d})= \lfloor \binom{n}{d+1}/\binom{n}{d} \rfloor+d$。对于 $n > (d+1) \lfloor \frac{1+\sqrt{5+4d}}{2}\rfloor+2d$，我们还得到 $\lfloor \frac{d+\sqrt{d^2+4(n+1)}}{2} \rfloor \le \sdepth(I_{n,d}) \le \lfloor \binom{n}{d+1}/\binom{n}{d} \rfloor+d$。作为我们构造的一个副产品，我们给出了文献[13]中定理1.1的一个不依赖图论的替代证明。