关于 Brouwer 强正则图连通性猜想的研究
组合数学
2012-01-12 v2 离散数学
摘要
本文研究 Andries E. Brouwer 于 1996 年提出的一个猜想，该猜想涉及强正则图中移除后使图断开为非单点连通分支的最小顶点数。我们证明，由共极空间以及更一般的称为 Δ-空间的空间构造出的强正则图是 Brouwer 猜想的反例。利用 J.I. Hall 对有限约化共极空间的刻画，我们发现三角形图 T(m)、域 F_q（q 为任意素数幂）上的辛图 Sp(2r,q)、以及分别由域 F_2 上的双曲二次曲面 O⁺(2r,2) 和椭圆二次曲面 O⁻(2r,2) 构造的强正则图，均为 Brouwer 猜想的反例。对于这些图中的每一个，我们精确确定了移除后使图断开为非单点连通分支的最小顶点数。虽然我们尚不清楚 Δ-空间是否有类似于 Hall 刻画定理的结果，但我们证明某些有限广义四边形的点图的补图是 Δ-空间的点图，从而给出了 Brouwer 猜想的其他反例。我们证明 Brouwer 猜想对许多强正则图族成立，包括会议图、广义四边形 GQ(q,q) 图、格图、拉丁方图、最小特征值为 -2 的强正则图（三角形图除外）以及顶点数不超过 30 的本原强正则图（少数情况除外）。我们留下一个开放问题：确定强正则图中断开为非单点连通分支的断开顶点集最小规模的最佳一般下界。
引用
@article{arxiv.1105.0796,
title = {On a conjecture of Brouwer involving the connectivity of strongly regular graphs},
author = {Sebastian M. Cioaba and Kijung Kim and Jack H. Koolen},
journal= {arXiv preprint arXiv:1105.0796},
year = {2012}
}
备注
25 pages, 1 table; accepted to JCTA; revised version contains a new section on copolar and Delta spaces