关于 Chaundy 与 Bullard 的一个组合恒等式

我们给出 Chaundy-Bullard 公式 $$(1-x)^{n+1} \sum_{k=0}^m {n+k\choose k} x^k +x^{m+1}\sum_{k=0}^n {m+k\choose k} (1-x)^k=1$$ 的两种新证明，并证明“孪生公式” $$\frac{ (1-x)^{(n+1)}}{(n+1)!} \sum_{k=0}^m \frac{n+1}{n+k+1} \frac{ x^{(k)}}{k!} + \frac{ x^{(m+1)}}{(m+1)!} \sum_{k=0}^n \frac{m+1}{m+k+1} \frac{ (1-x)^{(k)}}{k!}=1,$$ 其中 $z^{(n)}$ 表示上升阶乘。此外，我们给出了涉及不完全 beta 函数与某一组合和的恒等式。