关于 $3 \times 3$ 矩阵特征值的闭形式表达式数值稳定求解

基于卡德罗和维埃泰对三次方程代数解的工作，针对具有重复特征值矩阵的三角函数公式存在数值不稳定问题。本文提出一种针对实数、对角化 $3 \times 3$ 矩阵的闭形式特征值求解方法，利用四个不变量：迹 $I_1$、偏范数不变量 $J_2$ 和 $J_3$ 以及判别式 $\Delta$。我们分析了这些不变量的条件数，推导了紧密的前向误差界。对于 $J_2$，我们提出一种算法并证明了其准确性。我们对所有不变量以及由此得到的特征值公式进行基准测试，将观察到的前向误差与推导的界相联系。特别是，我们表明，对于具有良好条件化特征基的数矩阵，新提出的算法在误差上限内具有前向稳定性。性能基准测试表明，所提算法在具有挑战性测试情况下的性能约为高度优化的 LAPACK 库的十倍，同时保持相当的精度。