对角矩阵秩一修正的前向稳定特征值分解

我们提出了一种新算法，用于求解实对称矩阵的特征值问题，该矩阵是对角矩阵的秩一修正。该算法以 $O(n)$ 次运算高相对精度地计算每个特征值及其对应特征向量的所有分量。该算法基于移位求逆（shift-and-invert）方法。最终只需以双倍工作精度计算移位矩阵逆的单个元素。每个特征值及其对应的特征向量可以独立计算，这使得该算法适用于并行计算。我们的结果推广到了复 Hermitian 情形。该算法类似于以下文献中求解实对称箭头矩阵（arrowhead matrices）特征值问题的算法：N. Jakov\v{c}evi\'{c}~Stor, I. Slapni\v{c}ar 和 J. L. Barlow, {Accurate eigenvalue decomposition of real symmetric arrowhead matrices and applications}, Lin. Alg. Appl., 464 (2015)。