反对平面图覆盖时间猜想的数值证据

我们通过大规模蒙特卡洛模拟研究了一个关于平面图覆盖时间的猜想。该猜想指出，具有 $N$ 个顶点和最大度 $d$ 的平面图 $G_{N}$ 的覆盖时间 $\tau(G_{N})$ 的下界为 $\tau(G_{N}) \geq C_{d} N(\ln N)^2$，其中 $C_{d} = (d/4\pi) \tan (\pi/d)$，且对于某些几何结构等式成立。我们在规则蜂窝状 ($d=3$)、规则正方形 ($d=4$)、规则拉长三角形 ($d=5$) 和规则三角形 ($d=6$) 晶格，以及非规则的 Union Jack 晶格 ($d_{\rm min}=4$, $d_{\rm max}=8$) 上检验了这一猜想。实际上，蒙特卡洛数据表明，对于这些晶格中的大多数，严格下界可能作为等式成立，而 Union Jack 晶格的情况则存在一个有趣的问题。然而，蜂窝状晶格的数据违反了带有猜想常数的下界。我们还简要展示了正方形晶格覆盖时间的经验概率分布函数，因为目前对覆盖时间概率分布函数的普遍了解甚少。