Tuza关于三角形打包与覆盖猜想的充分条件

给定简单图 $G=(V,E)$，称 $E$ 的子集为三角形覆盖若其与 $G$ 的每个三角形相交。令 $\nu_t(G)$ 和 $\tau_t(G)$ 分别表示 $G$ 中两两边不交三角形的最大数目和 $G$ 的三角形覆盖的最小基数。Tuza在1981年猜想对任意图 $G$ 有 $\tau_t(G)/\nu_t(G)\le2$。本文中，利用超图方法，我们设计了寻找小三角形覆盖的多项式时间组合算法。这些算法隐含了Tuza关于覆盖与打包三角形猜想的新的充分条件。更精确地，假设三角形集合 $\mathscr T_G$ 覆盖 $G$ 中所有边。我们表明若满足以下条件之一，则可在多项式时间内找到基数至多为 $2\nu_t(G)$ 的 $G$ 的三角形覆盖：(i) $\nu_t(G)/|\mathscr T_G|\ge\frac13$，(ii) $\nu_t(G)/|E|\ge\frac14$，(iii) $|E|/|\mathscr T_G|\ge2$。