关于算子 corona 定理中余维一猜想的注记

针对 S.R.Treil [23] 的问题，对每一个 $\delta$，$0<\delta<1$，我们构造了压缩算子的例子，使得其特征函数 $F\in H^\infty(\mathcal E\to\mathcal E_\ast)$ 满足条件 $$\|F(z)x\|\geq\delta\|x\| \ \text{ 且 } \ \dim\mathcal E_\ast\ominus F(z)\mathcal E =1 \ \text{ 对每一个 } \ z\in\mathbb D, \ \ x\in\mathcal E,$$ 但 $F$ 不是左可逆的。此外，我们证明了条件 $$\sup_{z\in\mathbb D}\|I-F(z)^\ast F(z)\|_{\frak S_1}<\infty,$$ 其中 $\frak S_1$ 是算子的迹类，该条件对于满足估计 $\|F(z)x\|\geq\delta\|x\|$（对每个 $z\in\mathbb D$，$x\in\mathcal E$，某个 $\delta>0$）的算子值函数 $F$ 的左可逆性是充分的（S.R.Treil, [22]），并且对于满足 $\dim\mathcal E_\ast\ominus F(z)\mathcal E<\infty$（对某个 $z\in\mathbb D$）的内函数 $F$ 的左可逆性是必要的。