冠定理的另一种证明

设 $H^\infty(\Delta)$ 为开单位圆盘 $\Delta$ 上有界解析函数的一致代数，并设 $\mathfrak{M}(H^\infty)$ 为 $H^\infty(\Delta)$ 的极大理想空间。通过将 $\Delta$ 视为 $\mathfrak{M}(H^\infty)$ 的开子集，冠问题询问 $\Delta$ 在 $\mathfrak{M}(H^\infty)$ 中是否稠密，该问题由 L. Carleson 肯定地解决。将聚值定理推广到多个函数的情形，我们给出冠定理的一个直接证明：设 $\phi$ 为 $\mathfrak{M}(H^\infty)$ 中的同态，并设 $f_1, f_2, \dots, f_N$ 为 $H^\infty(\Delta)$ 中的函数。则存在 $\Delta$ 中的序列 $\{\zeta_j\}$ 满足对 $k=1, 2, \dots, N$ 有 $f_k(\zeta_j) \rightarrow \phi(f_k)$。另一方面，冠问题在许多一般情形中仍未解决，例如某些平面域、多圆盘和球，我们的方法十分自然，或可从另一角度处理此类情形。