圆盘与多圆盘上的矩阵值 $H^{p}$ Corona 问题

本文考虑圆盘与多圆盘上的矩阵值 $H^{p}$ corona 问题。圆盘上的结果颇为知名,通常借助经典 Carleson Corona 定理与线性代数得到。我们的证明提供了一种更简洁的获取该结果的方法,并能对解范数给出更好的估计。特别地,我们改进了 T. Trent 近期工作中的估计。注意,圆盘上 $H^{\infty}$ 矩阵 corona 问题可由 $H^{2}$ corona 问题经因式分解或交换子提升定理轻易得到。多圆盘上的 $H^{p}$ corona 问题最初由 K.C. Lin 解决,其解利用 Koszul 复形且相当复杂,因为须考虑高阶 $\bar{\partial}$-方程。我们的证明更为明晰,并在若干方面改进了 Lin 的结果。首先,我们证明了解的范数与生成元个数无关。此外,我们说明解的范数至多随多圆盘维数成比例增长。我们的方法基于 M. Andersson 所开创的思路。在圆盘上它本质上依赖 Green 定理与对偶性以获得估计;在多圆盘上我们利用 Riesz 投影将该问题归约为圆盘情形。