关于具有相似距离的二进制向量大子集存在性与不存在性的注记

我们考虑来自$\{0,1\}^n$的向量。此类向量$v$的权重是$v$坐标之和。向量集$L$的距离比为${\rm dr}(L):=\max \{\rho(x,y):\ x,y \in L\}/ \min \{\rho(x,y):\ x,y \in L,\ x\neq y\},$ 其中$\rho(x,y)$是$x$和$y$之间的汉明距离。我们证明：(a) 对于每个常数$\lambda>1$，不存在正常数$\alpha$和$C$使得每个至少包含$\lambda^p$个权重为$p$的向量的集合$K$都包含一个子集$K'$满足$|K'|\ge |K|^{\alpha}$且${\rm dr}(K')\le C$；(b) 对于权重为$p$的向量集$K$和常数$C>2$，存在$K'\subseteq K$使得${\rm dr}(K')\le C$且$|K'| \ge |K|^\alpha$，其中$\alpha = 1/ \lceil \log(p/2)/\log(C/2) \rceil$。