构造位移向量

设$\overrightarrow{v}\in\mathbb{R}^2\setminus\mathbb{Q}^2$，设$\lVert\cdot\lVert$为$\mathbb{R}^2$上的任意范数，并设$(q_n,\overrightarrow{p_n})_{n=0}^{\infty} \subset\mathbb{N}\times\mathbb{Z}^{2}$为$\overrightarrow{v}$关于$\lVert\cdot\lVert$的最佳逼近向量序列。我们定义$\overrightarrow{v}$的第$n$个长位移向量为$\overrightarrow{\beta_n}:=\sqrt{q_{n+1}}(q_{n}\overrightarrow{v}-\overrightarrow{p_n})$，并证明具有非典型性质的长位移向量的存在性，重点关注其长度、方向及同余类。