格拉姆-施密特游走：巴纳什奇克蓝调的疗法

偏差理论中由 Banaszczyk 提出的一个重要结果指出：对于 $\mathbb{R}^m$ 中任意一组 $\ell_2$ 范数至多为 $1$ 的 $n$ 个向量，以及 $\mathbb{R}^m$ 中高斯测度至少为二分之一的任意凸体 $K$，存在这些向量的一个 $\pm 1$ 组合落在 $5K$ 内。该结果给出了偏差中若干问题已知的最佳界。Banaszczyk 对该结果的证明是非构造性的，而一个主要开放问题是给出高效算法来找到这样的向量 $\pm 1$ 组合。本文解决了该问题，给出了一个高效随机算法，以找到落在 $cK$ 内的向量 $\pm 1$ 组合，其中 $c>0$ 为绝对常数。这为偏差理论中的若干问题带来了新的高效算法。