二维向量装箱无 APTAS：重新审视

我们研究向量装箱（Vector Bin Packing）与向量覆盖（Vector Bin Covering）问题，它们分别是装箱（Bin Packing）与覆盖（Bin Covering）问题的多维推广。在向量装箱中，给定来自 $[0,1]^d$ 的一组 $d$ 维向量，目标是将该集划分为最少数量的箱子，使得对每个箱子 $B$，$B$ 中向量之和的每个分量至多为 1。Woeginger [Woe97] 声称该问题在维度大于等于 2 时不存在 APTAS。我们注意到原证明中存在轻微疏忽。在本工作中，我们利用 [BCKS06,CC09] 中的一些补充思路给出了修正证明。事实上，我们表明获得优于 $\frac{600}{599}$ 的渐近近似比是 NP 难的。若每项至多有一个维度大于 $\delta$，则称向量装箱实例为 $\delta$-偏斜的。作为我们一般 $d$ 维向量装箱结果的自然推广，我们表明对于 $\varepsilon\in (0,\frac{1}{2500})$，若 $\delta>20\sqrt \varepsilon$，则对 $\delta$-偏斜向量装箱获得 $(1+\varepsilon)$-近似是 NP 难的。在向量覆盖问题中，给定来自 $[0,1]^d$ 的一组 $d$ 维向量，目标是获得具有最大基数的不相交子集族（称为箱子），使得对每个箱子 $B$，$B$ 中向量之和的每个分量至少为 1。利用类似于向量装箱结果的思路，我们表明向量覆盖在维度大于等于 2 时不存在 APTAS。事实上，我们表明获得优于 $\frac{998}{997}$ 的渐近近似比是 NP 难的。