通过迭代随机舍入改进向量装箱的近似算法

我们研究 $d$ 维向量装箱（$d$VBP）问题，它是装箱问题的一个推广，在资源分配与调度中有核心应用。在 $d$VBP 中，给定一组物品，每个物品由一个 $d$ 维体积向量刻画；目标是将物品划分为最少数量的子集（箱），使得每个子集中物品的总体积在各维均不超过 $1$。我们的主要结果是 $d$VBP 的一个渐近近似算法，对所有 $d \in \mathbb{N}$ 和任意 $\varepsilon > 0$ 给出比值 $(1+\ln d-\chi(d) +\varepsilon)$；此处 $\chi(d)$ 是某个严格正函数。这改进了 Bansal、Caprara 和 Sviridenko（SICOMP 2010）对任一 $d >3$ 所知最佳渐近比值 $\left(1+ \ln d +\varepsilon\right)$。通过略微修改算法加入初始匹配阶段并应用更紧的分析，我们在 $d=2$ 的特殊情形获得渐近近似比值 $\left(\frac{4}{3}+\varepsilon\right)$，从而大幅改进 Bansal、Elias 和 Khan（SODA 2016）先前最佳的 $\left(\frac{3}{2}+\varepsilon\right)$。我们的算法迭代求解残差实例（来自前几轮）的构型 LP 松弛，并基于该构型 LP 的解抽样少量构型。尽管 Karmarkar 和 Karp（FOCS 1982）已使用迭代舍入建立经典（一维）装箱的著名结果，迭代随机舍入在此首次用于（向量）装箱。我们的结果表明迭代随机舍入是近似 $d$VBP 的有力工具，可得到具有更优近似保证的简单算法。