关于复圆盘上高斯分布拉普拉斯变换的近似注记

在这篇短注中，我们研究高斯分布能被支撑于 $[-a,a]$ 上的分布近似的程度。也许自然的猜想是，对于大的 $a$，近似最优的选择由将高斯截断到 $[-a,a]$ 给出。确实，就特征函数之间的 $L_\infty$ 距离而言，此种近似达到了 $e^{-\Theta(a^2)}$ 的最优速率。然而，若我们考虑复圆盘上拉普拉斯变换之间的 $L_\infty$ 距离，最优速率为 $e^{-\Theta(a^2 \log a)}$，而截断仍只能达到 $e^{-\Theta(a^2)}$。最优速率可由 Gauss-Hermite 求积达到。作为推论，我们还构造了一个由 $\Theta(a^2)$ 个分量组成的“超平坦”高斯混合，其均值位于 $[-a,a]$ 中，且其密度在原点 $O(1)$ 邻域内的所有导数均以 $e^{-\Omega(a^2 \log(a))}$ 为界。