通过傅里叶分析学习球形高斯混合模型

假设我们给定了来自混合分布 $\mu$ 的独立同分布样本 $x_l$，该混合由不超过 $k$ 个方差为 $1$ 的 $d$ 维球形高斯分布 $\mu_i$ 组成，且两个不同中心 $y_l$ 与 $y_j$ 之间的最小 $\ell_2$ 距离大于 $\sqrt{d} \Delta$（其中 $c \leq \Delta$，$c\in (0,1)$ 为一个小的正常数）。我们开发了一种随机算法，以高于 $1 - \exp(-k/c)$ 的概率学习到高斯中心 $y_l$（在 $\ell_2$ 距离 $\delta < \frac{\Delta\sqrt{d}}{2}$ 以内）和权重 $w_l$（在 $cw_{min}$ 以内）。样本数量与计算时间的上界为 $poly(k, d, \frac{1}{\delta})$。当 $\omega(1) \leq d \leq O(\log k)$ 时，这种关于样本与计算复杂度的上界此前是未知的。当 $d = O(1)$ 时，这源于 Regev 和 Vijayaraghavan 的工作。这些作者还表明，在 $d$ 维、半径为 $\Theta(\sqrt{d})$ 的球中随机混合高斯分布的样本复杂度，当 $d$ 为 $\Theta( \log k)$ 时至少为 $poly(k, \frac{1}{\delta})$，说明我们的结果在此情形下是紧的。