以短余弦和实现高斯函数的微分逼近及指数级误差衰减

本文提出一种用短余弦和在 ${\mathbb R}$ 上逼近高斯函数的方法。我们推广并扩展了 [4, 40] 中提出的微分逼近方法，以在加权空间 $L^{2}({\mathbb R}, \mathrm{e}^{-t^{2}/2\rho})$ 中逼近 $\mathrm{e}^{-t^{2}/2\sigma}$，其中 $\sigma, \, \rho >0$。我们证明该方法在逼近问题 $\min\limits_{\lambda_{1},\ldots, \lambda_{N}, \gamma_{1}, \ldots, \gamma_{N}}\|\mathrm{e}^{-\cdot^{2}/2\sigma} - \sum_{j=1}^{N} \gamma_{j} \, {\mathrm e}^{\lambda_{j} \cdot}\|_{L^{2}({\mathbb R}, \mathrm{e}^{-t^{2}/2\rho})}$ 中的最优频率参数 $\lambda_1, \ldots , \lambda_{N}$ 是缩放 Hermite 多项式的零点。这一观察引导我们得到一种数值稳定的逼近方法，其计算成本较低，仅需 ${\mathcal O}(N^{3})$ 次运算。我们基于针对特殊结构矩阵的矩阵束方法推导了直接算法求解该逼近问题。该矩阵的元素由超几何函数确定。对于加权 $L^{2}$-范数，我们证明逼近误差随和式长度 $N$ 呈指数衰减。使用截断余弦和可在（非加权）$L^{2}$-范数下实现指数衰减误差。我们关于长度为 $N$ 的指数和逼近高斯函数的新收敛结果表明，指数级误差衰减率 $e^{-cN}$ 不仅对于完全单调函数可达。