高维下拉普拉斯近似的精度：精细化分析与新的偏度修正

在贝叶斯推断中，对感兴趣参数进行推导需要从后验分布中采样或计算积分。在高维情形下降低这些计算开销的一种流行方法，是用拉普拉斯近似（LA，一种高斯分布）替代后验。本文中，我们推导了 LA 误差的首项分解，这是一种比以往更精确分析近似精度的有力技术。它使我们得以推导出首个 LA 的偏度修正，可证明在高维情形下将其精度提升一个数量级。我们的方法还使我们能够证明标准 LA 更紧的上界以及高维下首个下界。特别地，我们证明 $d^2\ll n$ 一般是 LA 精度所必需的，其中 $d$ 为维度，$n$ 为样本量。最后，我们在两个示例模型中应用了我们的理论：由多项观测产生的狄利克雷后验，以及高斯设计下的逻辑回归。在后一设定中，我们证明了仅以 $d/\sqrt n$ 的幂表示的 LA 与偏度修正 LA 精度的高概率界。