被动标量中的范数增长、非唯一性与异常耗散

我们构造了一个散度自由的速度场 $u:[0,T] \times \mathbb{T}^2 \to \mathbb{R}^2$ 满足 $$u \in C^\infty([0,T];C^\alpha(\mathbb{T}^2)) \quad \forall \alpha \in [0,1)$$ 使得对应的漂移项-扩散方程对每个光滑初值均表现出异常耗散。我们还证明，给定任意 $\alpha_0 < 1$，可修改该流使其仅在 $C^{\alpha_0}(\mathbb{T}^2)$ 中一致有界，且解的正则性满足 Obukhov-Corrsin 理论所预测的尖锐（时间积分）界。证明基于一个一般原理，该原理蕴含输运方程所有解的 $H^1$ 增长，其本身可能具有独立意义。