基于范数依赖的扩散波与标量波逆散射级数的收敛性与稳定性

本文基于亥姆霍兹方程与时间无关扩散方程产生的扩散波（二者均为各类应用中的重要偏微分方程），分析了标量波的正向与逆散射级数。与以往在 $L^p$ 范数下研究正向与逆散射级数的收敛半径、稳定性及级数逼近误差的工作不同，我们在 Sobolev $H^s$ 范数下研究这些量，该范数关联于一类的基于 $L^2$ 的函数空间。根据其傅里叶域中的定义，$H^s$ 范数具有天然的光谱偏置：当 $s<0$ 时偏向低频，而当 $s>0$ 时偏向高频。我们比较了在参数域与数据域使用不同 $H^s$ 范数的稳定性估计，并为实际反演过程中的频率加权技术提供了理论依据。我们还给出了数值反演示例，以展示不同度量空间下逆散射收敛半径的差异。