对称化双圆盘上Carathéodory极值函数的非唯一性

我们综述对称化双圆盘 $G = \{(z+w,zw):|z|<1, \, |w|<1\} = \{(s,p)\in \mathbb{C}^2: |s-\bar s p| < 1-|p|^2\}$ 上的Carathéodory极值问题 $\mathrm{Car} \delta$。我们也给出关于该主题的一些新结果。我们特别关注该问题中解不唯一的情形。已知对任意 $\delta=(\lambda,v)\in TG$ 且 $v\neq 0$，至少存在一个 $\omega\in\mathbb{T}$ 使得 $\Phi_\omega$ 求解 $\mathrm{Car} \delta$，其中 $\Phi_\omega(s,p) = \frac{2\omega p-s}{2-\omega s}$。此外，$\mathrm{Car} \delta$ 有本质唯一解当且仅当 $\delta$ 恰有一个形如 $\Phi_\omega$（对某 $\omega\in\mathbb{T}$）的Carathéodory极值函数。我们对具有多于一个Carathéodory极值函数 $\Phi_\omega$（对某 $\omega \in\mathbb{T}$ 的值）的 $\delta\in TG$ 给出Carathéodory极值函数的刻画。证明利用了$G$的Schur类的模型公式，该公式是圆盘上Schur类函数著名网络实现公式的类似物。