$S^2$ 上余伴随轨道的非平凡丛

设 $G$ 为具有李代数 $\mathfrak{g}$ 的紧连通半单李群。设 $\mathcal{O}\subset\mathfrak{g}^*$ 为一个余伴随轨道。$G$ 在 $\mathcal{O}$ 上的作用诱导一个态射 $\rho:G\to \mathrm{Homeo}(\mathcal{O})$。我们证明诱导映射 $\pi_1(\rho):\pi_1(G)\to\pi_1(\mathrm{Homeo}(\mathcal{O}))$ 是单射。这加强了 McDuff 和 Tolman 的一个定理（由 Weinstein 于 1989 年猜想），该定理称类似映射 $G\to\mathrm{Ham}(\mathcal{O})$ 在基本群上是单射，其中 $\mathrm{Ham}(\mathcal{O})$ 是 $\mathcal{O}$ 上标准辛结构的哈密顿微分同胚群。为证明我们的定理，我们利用标准修补构造，将 $\pi_1(G)$ 中每个非平凡元素联系到一个以 $\mathcal{O}$ 为纤维、底空间为 $S^2$ 的纤维丛。然后我们通过研究其上同调证明所得丛在拓扑上非平凡。为此，我们证明只需考虑 $G$ 为单群且 $\mathcal{O}$ 为极小轨道的情形，随后通过逐例分析证明单群 $G$ 与极小轨道 $\mathcal{O}$ 的结果；例外群 $E_6$ 和 $E_7$ 的证明依赖于计算机计算，而所有其他情形均手工处理。我们在部分计算中用到的一个基本工具是本文证明的将切瓦利公式推广到 $S^2$ 上余伴随轨道丛的结果。